Question

【题目】已知椭圆：的一个焦点为，点在上.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线：与椭圆相交于，两点，问轴上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

先求出c的值，再根据，又，即可得到椭圆的方程;假设y轴上存在点，是以M为直角顶点的等腰直角三角形，设，，线段AB的中点为，根据韦达定理求出点N的坐标，再根据，，即可求出m的值，可得点M的坐标

由题意可得，点在C上，

，

又，

解得，，

椭圆C的方程为，

假设y轴上存在点，是以M为直角顶点的等腰直角三角形，

设，，线段AB的中点为，

由，消去y可得，

，解得，

，，

，，

，

依题意有，，

由，可得，可得，

由可得，

，，

代入上式化简可得，

则，

解得，

当时，点满足题意，当时，点满足题意