题目内容
给定有限个正数满足条件
：每个数都不大于50且总和
＝1275.现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是：
首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差
与所有可能的其他选择相比是最小的，称为第一组余差；
然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为
；如此继续构成第三组（余差为
）、第四组（余差为
）、……，直至第
组（余差为
）把这些数全部分完为止.
（I）判断
的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数
(II)当构成第
组后，指出余下的每个数与
的大小关系，并证明
;
(III)对任何满足条件T的有限个正数，证明：
.
解：（I）
.除第N组外的每组至少含有
个数.
（II）当第n组形成后，因为
，所以还有数没分完，这时余下的每个数必大于余差
，余下数之和也大于第n组的余差，即
,
由此可得
.
因为
，所以
.
（III）用反证法证明结论，假设
，即第11组形成后，还有数没分完，由（I）和（II）可知，余下的每个数都大于第11组的余差
，且
,
故余下的每个数
. （*）
因为第11组数中至少含有3个数，所以第11组数之和大于
,
此时第11组的余差
,
这与（*）式中
矛盾，所以
.
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