题目内容
已知函数f（x）=x+| m | x |
（1）求m；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）函数f（x）在（1，+∞）上是增函数还是减函数？并证明．
分析：（1）函数f（x）=x+
，且f（1）=2，由此即可得到参数m的方程，求出参数的值．
（2）由（1）知f（x）=x+
，故利用函数的奇偶性定义判断其奇偶性即可．
（3）本题做题格式是先判断出单调性，再进行证明，证明函数的单调性一般用定义法证明或者用导数证明，本题采取用定义法证明其单调性．
| m |
| x |
（2）由（1）知f（x）=x+
| 1 |
| x |
（3）本题做题格式是先判断出单调性，再进行证明，证明函数的单调性一般用定义法证明或者用导数证明，本题采取用定义法证明其单调性．
解答：解：（1）∵f（1）=2，∴1+m=2，m=1．
（2）f（x）=x+
，f（-x）=-x-
=-f（x），∴f（x）是奇函数．
（3）函数f（x）=
+x在（1，+∞）上为增函数，证明如下
设x1、x2是（1，+∞）上的任意两个实数，且x1＜x2，则
f（x1）-f（x2）=x1+
-（x2+
）=x1-x2+（
-
）
=x1-x2-
=（x1-x2）
．
当1＜x1＜x2时，x1x2＞1，x1x2-1＞0，从而f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）=
+x在（1，+∞）上为增函数．
（2）f（x）=x+
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
（3）函数f（x）=
| 1 |
| x |
设x1、x2是（1，+∞）上的任意两个实数，且x1＜x2，则
f（x1）-f（x2）=x1+
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
=x1-x2-
| x1-x2 |
| x1x2 |
| x1x2-1 |
| x1x2 |
当1＜x1＜x2时，x1x2＞1，x1x2-1＞0，从而f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）=
| 1 |
| x |
点评：本题考点是函数单调性的判断与证明，主要考查用函数单调性的定义来证明函数单调性的能力，本题中函数解析式是一个分工，在证明时要注意灵活选用方法进行变形，方便判号，定义法证明函数单调性的步骤是：取值、作差变形、定号、判断结论．
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