Question

过双曲线的一个焦点F引它的渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若|FM|=2|ME|，则该双曲线的离心率为

1. A.
   3
2. B.
   2
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：先根据条件求出EF的方程，得到E．F的坐标，再根据|FM|=2|ME|，求出M的坐标，结合点M在渐近线上得到a，b之间的关系，即可求出答案．
解答：渐近线方程是y=±x
右焦点的坐标是（c，0）
现在假设由右焦点向一、三象限的渐近线引垂线
所以取方程y=x
因为EF垂直于渐近线
所以 直线EF的斜率是-
该直线的方程是y=-（x-c）
当x=0时，y=
所以E点的坐标（0，）
∵|FM|=2|ME|，
∴M的坐标（）
∵点M在渐近线上，则
整理得：b²=2a²
所以：c²=3a²
∴c=a．
所以离心率e==．
故答案为．
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生转化和化归的数学思想的运用，以及基本的运算能力．