Question

如图, 是边长为的正方形，平面，，，与平面所成角为.

(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)求二面角的余弦值；
（Ⅲ）线段上是否存在点，使得平面？若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由。

Answer 1

(Ⅰ) 只需证 ， 。(Ⅱ)；（Ⅲ）存在点M，。

解析
试题分析：(Ⅰ)证明： 因为平面，
所以.    2分
因为是正方形，
所以，
又相交
从而平面.    4分

(Ⅱ)解：因为两两垂直，
所以建立空间直角坐标系如图所示.
因为与平面所成角为，
即，    5分
所以.
由可知，.   6分
则，，，，，
所以，，  7分
设平面的法向量为，则，
即，令，
则.     8分
因为平面，所以为平面的法向量，，
所以.  9分
因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.   10分
(Ⅲ)解：点是线段上一个点，设.
则，
因为平面，
所以，                                     11分
即，解得.                      12分
此时，点坐标为，故存在点M，，符合题意.   13分
考点：线面垂直的性质定理；线面垂直的判定定理；二面角；线面平行的判定定理。
点评：线面垂直的常用方法：
①线线垂直Þ线面垂直
若一条直线垂直平面内两条相交直线，则这条直线垂直这个平面。
即
②面面垂直Þ线面垂直
两平面垂直，其中一个平面内的一条直线垂直于它们的交线，则这条直线垂直于另一个平面。
即
③两平面平行，有一条直线垂直于垂直于其中一个平面，则这条直线垂直于另一个平面。
即
④两直线平行，其中一条直线垂直于这个平面，则另一条直线也垂直于这个平面。