题目内容

已知函数y=x+ $数学公式$ 有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0， $数学公式$ ]上是减函数，在[ $数学公式$ ，+∞）上是增函数．
（1）如果函数y=x+ $数学公式$ （x＞0）的值域为[6，+∞），求b的值；
（2）研究函数y=x²+ $数学公式$ （常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）对函数y=x+ $数学公式$ 和y=x²+ $数学公式$ （常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明）．

解：（1）由函数y=x+ $\text{[math]}$ 性质知：
当x= $\text{[math]}$ 时，函数y=x+ $\text{[math]}$ （x＞0）的最小值是2 $\text{[math]}$ ，则2 $\text{[math]}$ =6，
解得b=log₂9．
（2）设0＜x₁＜x₂，
则y₂-y₁= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
当 $\text{[math]}$ ＜x₁＜x₂时，y₂＞y₁，函数y= $\text{[math]}$ 在[ $\text{[math]}$ ，+∞）上是增函数；
当0＜x₁＜x₂＜ $\text{[math]}$ 时，y₂＜y₁，函数y= $\text{[math]}$ 在（0， $\text{[math]}$ ]上是减函数．
又y= $\text{[math]}$ 是偶函数，
所以该函数在（-∞，- $\text{[math]}$ ]上是减函数，在[- $\text{[math]}$ ，0）上是增函数；
（3）可以把函数推广为y= $\text{[math]}$ （常数a＞0），其中n是正整数．
当n是奇数时，函数y= $\text{[math]}$ 在（0， $\text{[math]}$ ]上是减函数，在[ $\text{[math]}$ ，+∞）上是增函数，
在（-∞，- $\text{[math]}$ ]上是增函数，在[- $\text{[math]}$ ，0）上是减函数；
当n是偶数时，函数y= $\text{[math]}$ 在（0， $\text{[math]}$ ]上是减函数，在[ $\text{[math]}$ ，+∞）上是增函数，
在（-∞，- $\text{[math]}$ ]上是减函数，在[- $\text{[math]}$ ，0）上是增函数．
分析：（1）由函数y=x+ $\text{[math]}$ 性质可得y=x+ $\text{[math]}$ 的最小值，令其为6，解出可得b值；
（2）利用定义进行判断：先研究函数在（0，+∞）上的单调性，设0＜x₁＜x₂，通过作差判断y₂与y₁的大小，由单调性的定义即可作出判断，再由偶函数的性质可知函数在（-∞，0）的单调性；
（3）可以把函数推广为y= $\text{[math]}$ （常数a＞0），其中n是正整数，当n是奇数时类比y=x+ $\text{[math]}$ 的情形，当n是偶数时类比y= $\text{[math]}$ 的情形，即可得到结论；
点评：本题考查函数单调性的判断、证明及归纳推理，定义是判断函数单调性的基本方法，要熟练掌握．