Question

若当x∈[

1

2

，2]时，函数f（x）=x²+px+q与函数g(x)=2x+

1

x2

在同一点处取得相同的最小值，则函数f（x）在[

1

2

，2]上的最大值是

4

．

Answer 1

分析：利用基本不等式可求得g（x）=x+x+

1

x2

≥3（当x=1时取“=”），从而可求得p=-2，q=4，从而可求得f（x）在[

1

2

，2]上的最大值．

解答：解：∵x∈[

1

2

，2]，g（x）=x+x+

1

x2

≥3（当且仅当x=1时取“=”），
∵数f（x）=x²+px+q与函数g(x)=2x+

1

x2

在同一点处取得相同的最小值，
∴f（x）=x²+px+q在x=1处取到最小值3，而x∈[

1

2

，2]，
∴-

p

2

=1，p=-2．
∴f（1）=1²-2×1+q=3，
∴q=4．
∴f（x）=x²-2x+4，
∵f（x）=x²-2x+4在[

1

2

，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，且2到x=1的距离大于

1

2

到x=1的距离，二次函数开口向上，
∴x∈[

1

2

，2]，f（x）_max=f（2）=2²-2×2+4=4．
故答案为：4．

点评：本题考查基本不等式，通过基本不等式的应用考查二次函数在闭区间上的单调性与最值，考查分析转化与运算的能力，属于中档题．