Question

已知函数f(x)=

2

sin(x+φ)[sin(x+φ)+cos(x+φ)]-

2

2

（0＜φ＜π），若f(x)=f(

π

3

-x)对x∈R恒成立，且f(

π

2

)＞f(π)．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）当x∈[-

π

12

，

π

2

]时，求y=f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）通过多项式乘法展开．利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，利用函数的对称轴，求出变量可求y=f（x）的解析式；
（2）通过x∈[-

π

12

，

π

2

]，求出相位的范围，利用正弦函数的最值直接求解求y=f（x）的单调区间．

解答：解：（1）f(x)=

2

cos(x+φ)sin(x+φ)+

2

sin2(x+φ)-

2

2

=

2

2

sin(2x+2φ)+

2

2

[1-cos(2x+2φ)]-

2

2

=sin(2x+2φ-

π

4

)
又由f(x)=f(

π

3

-x)，可知x=

π

6

为函数的对称轴
则2×

π

6

+2φ-

π

4

=kπ+

π

2

，φ=

kπ

2

+

5π

24

，k∈Z，
由（0＜φ＜π），可知φ=

5π

24

或φ=

17π

24

又由f(

π

2

)＞f(π)，可知-sin(2φ-

π

4

)＞sin(2φ-

π

4

)，
可得sin(2φ-

π

4

)＜0
验证φ=

5π

24

或φ=

17π

24

，
则φ=

17π

24

，所以y=f(x)=-sin(2x+

π

6

)
（2）当x∈[-

π

12

，

π

2

]，2x+

π

6

∈[0，

7π

6

]
若2x+

π

6

∈[0，

π

2

]，即x∈[-

π

12

，

π

6

]时，y=f（x）单减．
若2x+

π

6

∈[

π

2

，

7π

6

]，即x∈[

π

6

，

π

2

]时，y=f（x）单增．

点评：本题考查三角函数解析式的求法，函数的单调性的判断求解，考查计算能力．