Question

已知函数f（x）=x²，（x∈[-2，2]），g（x）=a²sin（2x+

π

6

）+3a，x∈[0，

π

2

]），?x₁∈[-2，2]，总?x₀∈[-0，

π

2

]，使得g（x）=f（x₁）成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先分别求出函数f（x）与函数g（x）的值域，再根据?x₁∈[-2，2]，总?x0∈[0，

π

2

]，使得g(x0)=f(

x

1

)成立得到函数
f（x）的值域是函数g（x）的值域的子集，建立不等关系即可．

解答：解：∵x∈[0，

π

2

]
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]
则g(x)=a2sin(2x+

π

6

)+3a，x∈[0，

π

2

]的值域为[3a-

1

2

a²，a²+3a]
而f（x）=x²，（x∈[-2，2]）的值域为[0，4]
∵?x₁∈[-2，2]，总?x0∈[0，

π

2

]，使得g(x0)=f(

x

1

)成立
∴[0，4]⊆[3a-

1

2

a²，a²+3a]
则

3a-  1 2 a2≤0 a2+3a≥4

，解得a∈（-∞，-4]∪[6，+∞），
故答案为（-∞，-4]∪[6，+∞）

点评：本题主要考查了函数的值域，以及存在性问题的应用，属于中档题，是高考中偶尔出现的好题．