Question

设函数f（x）=x-

ln(1+x)

1+x

（1）令N（x）=（1+x）²-1+ln（1+x），判断并证明N（x）在（-1，+∞）上的单调性，并求N（0）；
（2）求f（x）在定义域上的最小值；
（3）是否存在实数m，n满足0≤m＜n，使得f（x）在区间[m，n]上的值域也为[m，n]？
（参考公式：[ln（1+x）′]=

1

1+x

）

Answer 1

（1）当x＞-1时，N^′（x）=2x+2+

1

1+x

＞0（2分）
所以，N（x）在（-1，+∞）上是单调递增，N（0）=0（4分）
（2）f（x）的定义域是（-1，+∞）
f′(x)=1-

1-ln(x+1)

(1+x)2

=

N(x)

(1+x)2

当-1＜x＜0时，N（x）＜0，所以，f^′（x）＜0，
当x＞0时，N（x）＞0，所以，f^′（x）＞0，（8分）
所以，在（-1，0）上f（x）单调递减，在（0，+∞）上，f（x）单调递增，
所以，f_min=f（0）=0（10分）
（3）由（2）知f（x）在[0，+∞）上是单调递增函数，
若存在m，n满足条件，则必有f（m）=m，f（n）=n，（11分）
也即方程f（x）=x在[0，+∞）上有两个不等的实根m，n，
但方程f（x）=x，即

ln(x+1)

(x+1)

=0只有一个实根x=0，
所以，不存在满足条件的实数m，n．（14分）