Question

已知抛物线y²=4x上两定点A、B分别在对称轴两侧，F为焦点，且|AF|=2，|BF|=5，在抛物线的AOB一段上求一点P，使S_△ABP最大，并求面积最大值．

Answer 1

分析：先由题设条件知，|FA|=2，|FB|=5，可根据抛物线的定义求得点A、B的坐标；再由两点坐标已知，故由两点间距离公式求出两点的距离，由直线方程的两点式求出直线AB的方程；欲求△PAB的面积最大值可转化为求点P到直线AB的距离的最大值，设出点P的坐标，由点到直线的距离公式建立起点P到直线AB的距离的函数关系式，利用函数的知识求出最值即可．

解答：解：不妨设点A在第一象限，B点在第四象限．如图．
抛物线的焦点F（1，0），点A在第一象限，设A（x₁，y₁），y₁＞0，
由|FA|=2得x₁+1=2，x₁=1，代入y²=4x中得y₁=2，所以A（1，2），…（2分）；
同理B（4，-4），…（4分）
由A（1，2），B（4，-4）得 |AB|=

(1-4)2+(2+4)2

=3

5

…（6分）
直线AB的方程为

y-2

-4-2

=

x-1

4-1

，化简得2x+y-4=0．…（8分）
再设在抛物线AOB这段曲线上任一点P（x₀，y₀），且0≤x₀≤4，-4≤y₀≤2．
则点P到直线AB的距离d=

|2x0+y0-4|

1+4

=

|2× y0 2 4 +y0-4|

5

=

| 1 2 (y0+1)2- 9 2 |

5

 …（9分）
所以当y₀=-1时，d取最大值

9 5

10

，…（10分）
所以△PAB的面积最大值为S=

1

2

×3

5

×

9 5

10

=

27

4

 …（11分）
此时P点坐标为（

1

4

，-1）．…（12分）．

点评：本小题主要考查抛物线的应用、直线与圆锥曲线的位置关系、两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．