Question

已知函数f（x）=x²+ax+b（其中a，b∈R），
（1）若当x∈[-1，1]，f（x）≤0恒成立，求的取值范围；
（2）若a∈[-1，1]，b∈[-1，1]，求f（x）无零点的概率；
（3）若对于任意的正整数k，当时，都有成立，则称这样f（x）是K₂函数，现有函数，试判断g（x）是不是K₂函数？并给予证明．?

Answer 1

【答案】分析：（1）据f（x）≤0恒成立，由有得到，再观察的结构形式，可用线性规划解决；
（2）据a∈[-1，1]，b∈[-1，1]，可知这是一个几何概型中的面积类型，总面积是直线a=±1，b=±1围成的区域面积，当f（x）有零点时，则判断式大于零，得到a²≥4b，满足条件为，可用定积分求得有零点时的面积，从而求得有零  点时的概率，再用对立事件求得无零点时的概率；
（3）g（x）是K₂函数，按照定义证明即可．
解答：解：（1）据题意：∴
可行域如图的几何意义是定点P（2，5）到区域内的点Q（a，b）连线的斜率k，的取值范围为（-∞，-1）∪（1，+∞）；
（2）当f（x）有零点时，a²≥4b，满足条件为
由抛物线的下方与a=±1，b=-1围成的区域面积，，
由直线a=±1，b=±1围成的区域面积S₂=4，
故f（x）有零点的概率，∴f（x）无零点的概率为；
（3）g（x）是K₂函数，
证明：符合条件，
因为，
同理：；
===，
所以，符合条件．
点评：本题主要考查线性规划，（1）关键是确定约束条件和目标函数类型；（2）是结合概率来考查所围成的平面图形的面积；（3）是情境题，这样题的解决要严格执行给定的定义，结合已有的知识解决．