Question

直线y=k（x+1）与曲线的公共点最多时实数k的取值范围为    ．

Answer 1

【答案】分析：把直线y=k（x+1）代入曲线y=（x≥1），得k²x²+（2k²-1）x+k²+1=0，当直线y=k（x+1）与曲线y=（x≥1）的公共点最多时，实数k满足，由此能求出k的范围．
解答：解：由于直线y=k（x+1）恒过定点（-1，0），结合函数的图象可知，
①当k≤0时，直线y=k（x+1）与y=没有交点，与y=最多2个交点
②当k＞0时，直线y=k（x+1）与已知曲线y=最多有3个交点
此时直线y=k（x+1）单调递增，而y=（x＜1）单调递减，y=k（x+1）与y=只有一个交点，
则y=k（x+1）与y=（x≥1）有2个交点
把直线y=k（x+1）代入曲线y=（x≥1），
整理，得k²x²+（2k²-1）x+k²+1=0，在[1，+∞）有2个根
当直线y=k（x+1）与曲线y=（x≥1）的公共点最多时，
实数k满足
整理，得
解得0＜k＜．
故答案为：
点评：本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．