Question

设函数f(x)=(x²-x )e^ax(a＞0，a∈R),

（1）当a=2时，求函数f(x)的单调区间;

（2）若不等式f(x)+≥0对x∈(0,+∞)恒成立，求a的取值范围.

Answer 1

解:对函数求导,得f(x)=e_ax(ax+2)(x-1).

(1)当a=2时，f′(x)=e^2x(2x+1)(x-1),令f′(x)＞0,得x＞1或x＜-1,

所以f(x)的单调增区间为(-∞，-1)，(1，+∞)单调减区间为(-1，1).

(2)令f′(x)=0,(ax+2)(x-1)=0,解得x=或x=1,因为a＞0,x∈(0,+∞),

x	(0,1)	1	(1，+∞)
f′(x)	-	0	+
f(x)	减函数	极小值	增函数

由表可知,函数在x=1时取得极小值f(1)=e^a.

因为不等式f(x)+≥0对x∈(0,+∞)恒成立，

所以e^a+≥0,解得0＜a≤ln3.