Question

已知{a_n}为等差数列，且a₃=5，a₇=2a₄-1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式及其前n项和S_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b1+4b2+9b3+…+n2bn=an求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）等差数列{a_n}中，由a₃=5，a₇=2a₄-1可求首项和公差，从而得通项公式与前n项和；
（Ⅱ）由{b_n}满足b1+4b2+9b3+…+n2bn=an，可得b1+4b2+9b3+…+(n-1)2bn-1=an-1，n≥2；两式相减得b_n（n≥2），验证n=1时情况即得{b_n}的通项公式．

解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的首项和公差分别为a₁，d，
∵a₃=5，a₇=2a₄-1．∴

a1+2d=5 a1+6d=2(a1+3d)-1

，
解得

a1=1 d=2

．
∴{a_n}的通项公式为a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，前n项和S_n为Sn=

n(a1+an)

2

=n2；
（Ⅱ）∵数列{b_n}满足b1+4b2+9b3+…+n2bn=an，
∴b1+4b2+9b3+…+n2bn=an①，
b1+4b2+9b3+…+(n-1)2bn-1=an-1，n≥2②；
∴①-②得：n²b_n=a_n-a_n-1=2，n≥2
∴bn=

2

n2

，n≥2，b₁=a₁=1
∴{b_n}的通项公式为b_n=

1          n=1 2 n2       n≥2

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式的应用问题，是基础题．