某班级体育课进行一次篮球定点投篮测试.规定每人最多投3次.每次投篮的结果相互独立．在A处每投进一球得3分.在B处每投进一球得2分.否则得0分．将学生得分逐次累加并用X表示.如果X的值不低于3分就判定为通过测试.立即停止投篮.否则应继续投篮.直到投完三次为止．现有两种投篮方案:方案1:先在A处投一球.以后都在B处投,方案2:� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．某班级体育课进行一次篮球定点投篮测试，规定每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立．在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分，否则得0分．将学生得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于3分就判定为通过测试，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止．现有两种投篮方案：
方案1：先在A处投一球，以后都在B处投；
方案2：都在B处投篮．
已知甲同学在A处投篮的命中率为$\frac{1}{4}$，在B处投篮的命中率为$\frac{4}{5}$．
（Ⅰ）若甲同学选择方案1，求他测试结束后所得总分X的分布列和数学期望E（X）；
（Ⅱ）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由．

分析（I）确定甲同学在A处投中为事件A，在B处第次i投中为事件B_i（i=1，2），根据题意知$P（A）=\frac{1}{4}，P（{B_i}）=\frac{4}{5}$．总分X的取值为0，2，3，4．利用概率知识求解相应的概率．
（2）设甲同学选择方案1通过测试的概率为P₁，选择方案2通过测试的概率为P₂，利用概率公式得出P₁，P₂，比较即可．

解答解：（Ⅰ）设甲同学在A处投中为事件A，在B处第次i投中为事件B_i（i=1，2），
由已知$P（A）=\frac{1}{4}，P（{B_i}）=\frac{4}{5}$．X的取值为0，2，3，4．
则$P（X=0）=P（\bar A{\bar B_1}{\bar B_2}）=P（\bar A）P（{\bar B_1}）P（{\bar B_2}）=\frac{3}{4}×\frac{1}{5}×\frac{1}{5}=\frac{3}{100}$，$P（X=2）=P（\bar A{B_1}{\bar B_2}）+P（\bar A{\bar B_1}{B_2}）=\frac{3}{4}×\frac{4}{5}×\frac{1}{5}+\frac{3}{4}×\frac{1}{5}×\frac{4}{5}=\frac{6}{25}$，
$P（X=3）=P（A）=\frac{1}{4}$，$P（X=4）=P（\bar A{B_1}{B_2}）=\frac{3}{4}×\frac{4}{5}×\frac{4}{5}=\frac{12}{25}$，
X的分布列为：

X	0	2	3	4
P	$\frac{3}{100}$	$\frac{6}{25}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{12}{25}$

X的数学期望为：$E（X）=0×\frac{3}{100}+2×\frac{6}{25}+3×\frac{1}{4}+4×\frac{12}{25}=\frac{315}{100}=3.15$，
（Ⅱ）甲同学选择方案1通过测试的概率为P₁，选择方案2通过测试的概率为P₂，
则${P_1}=P（X=3）+P（X=4）=\frac{1}{4}+\frac{12}{25}=\frac{73}{100}=0.73$，${P_2}=P（{B_1}{B_2}）+P（{\bar B_1}{B_2}{B_3}）+P（{B_1}{\bar B_2}{B_3}）=\frac{4}{5}×\frac{4}{5}+\frac{1}{5}×\frac{4}{5}×\frac{4}{5}+\frac{4}{5}×\frac{1}{5}×\frac{4}{5}=\frac{112}{125}=0.896$，
∵P₂＞P₁，
∴甲同学选择方案2通过测试的可能性更大．

点评本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．