Question

已知圆C的圆心坐标是（-

1

2

，3），且圆C与直线x+2y-3=0相交于P，Q两点，又OP⊥OQ，O是坐标原点，求圆C的方程．

Answer 1

设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0．其圆心为（-

D

2

，-

E

2

），则
-

D

2

=-

1

2

，-

E

2

=3，
∴D=1，E=-6，
∴圆方程为x²+y²+x-6y+F=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则P，Q两点坐标适合方程组x²+y²+x-6y+F=0x+2y-3=0
消去x得，5y²-20y+12+F=0由韦达定理得：y₁+y₂=4，y₁y₂=

12+F

5

∴x₁x₂=（-2y₁+3）（-2y₂+3）=4y₁y₂-6（y₁+y₂）+9=

4F-27

5

∵OP⊥OQ，
∴

y1y2

x1x2

=-1，
即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴

4F-27

5

+

12+F

5

=0，
∴F=3
故所求圆的方程为x²+y²+x-6y+3=0