Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，E是SD的中点．
（1）求证：SB∥平面EAC；
（2）求证：AC⊥BE．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：连接BD交AC于点O，连接EO．
因为底面ABCD是正方形，
所以O是BD的中点．
又因为E是SD的中点，
所以EO∥SB．
又因为EO?平面EAC，SB?平面EAC，
所以SB∥平面EAC．

（Ⅱ）因为底面ABCD是正方形，
所以AC⊥BD．
因为SD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
所以AC⊥SD．
又因为SD∩BD=D，
所以AC⊥平面BDS．
因为BE?平面BDS，
所以AC⊥BE．
分析：（1）画出图形，证明平面EAC外的直线SB与平面内的直线EO平行，即可证明SB∥平面EAC；
（2）要证AC⊥BE，只要证明AC垂直EB所在的平面SDB即可，需要证明AC⊥BD，AC⊥SD．
点评：本题考查直线与平面平行，直线与直线的垂直，考查学生转化思想，逻辑思维能力，是中档题．