Question

（本题满分18分）第一题满分4分，第二题满分6分，第三题满分8分．

已知椭圆的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为、，抛物线的准线与轴交于，椭圆与抛物线的一个交点为.

（1）当时，求椭圆的方程；

（2）在（1）的条件下，直线过焦点，与抛物线交于两点，若弦长等于的周长，求直线的方程；

（3）是否存在实数，使得的边长为连续的自然数.

Answer 1

解：（1）设椭圆的实半轴长为a,短半轴长为b，半焦距为c,

当=1时，由题意得，a=2c=2,, 

所以椭圆的方程为.（4分）

（2）依题意知直线的斜率存在，设，由得，，由直线与抛物线有两个交点，可知.设，由韦达定理得，则（6分）又的周长为，所以，          （8分）

解得，从而可得直线的方程为        （10分）

（3）假设存在满足条件的实数，

由题意得，所以椭圆的方程为

联立解得即。

所以，，，

即的边长分别为、、，显然，

所以，故当时，使得的边长为连续的自然数.  （18分）