题目内容

(本题满分18分,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题8分)
对于数列,如果存在一个正整数,使得对任意的)都有成立,那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列,的最小值称作数列的最小正周期,以下简称周期。例如当是周期为的周期数列,当是周期为的周期数列。
(1)设数列满足),不同时为0),且数列是周期为的周期数列,求常数的值;
(2)设数列的前项和为,且
①若,试判断数列是否为周期数列,并说明理由;
②若,试判断数列是否为周期数列,并说明理由;
(3)设数列满足),,数列的前项和为,试问是否存在,使对任意的都有成立,若存在,求出的取值范围;不存在,   说明理由;


解:(1)由数列是周期为的周期数列,
,即, …………4分
(2)当时,,又.……………………………5分
时,
.……………………………6分
①由为等差数列,即
由于对任意的都有,所以不是周期数列……………………………8分
②由,数列为等比数列,即
对任意都成立,
即当是周期为2的周期数列。…………………………10分
(3)假设存在,满足题设。
于是
所以是周期为3的周期数列,所以的前3项分别为,……………………12分
              ………………14分
时,
时,
时,
综上,                            ……………16分
为使恒成立,只要即可,
综上,假设存在,满足题设,。………………18分

解析

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