题目内容
（本题满分18分；第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题8分）
设数列
是等差数列，且公差为
，若数列
中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.
（1）若
，求证：该数列是“封闭数列”；
（2）试判断数列
是否是“封闭数列”，为什么？
（3）设
是数列的前
项和，若公差
，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使
；若存在，求的通项公式，若不存在，说明理由.
略
【解析】（1）证明：
，--------------------------------------------1分
对任意的
，有
，---------------------------------------------3分
于是，令
，则有
-------------------------5分（2）
，---------------------------------------------------------7分
令
，-----------------------------------------9分
所以数列
不是封闭数列；---------------------------------------------------10分
（3）解：由
是“封闭数列”，得：对任意，必存在
使
成立，----------------------------------------------------11分
于是有
为整数，又
是正整数。-------------------------------13分
若
则
，所以
，-----------------------14分
若
，则
，所以
，------------------------16分
若
，则
，于是
，所以
，------------------------------------------17分
综上所述，
，显然，该数列是“封闭数列”。---------------- 18分
中，已知过点
的直线与线段
分别相交于点
。若
。
与
的关系为
；
，定义函数
，点列
在函数
的图像上，且数列
是以首项为1，公比为
的等比数列，
为原点，令
，是否存在点
，使得
？若存在，请求出
点坐标；若不存在，请说明理由。
为
上偶函数，当
时
，又函数
对称， 当方程
在
上有两个不同的实数解时，求实数
的取值范围。
，如果存在一个正整数
，使得对任意的
（
）都有
成立，那么就把这样一类数列
时
的周期数列，当
时
是周期为
的周期数列。
满足
（
（
不同时为0），且数列
的周期数列，求常数
的值；
，且
．
，试判断数列
，试判断数列
（
，
，
，数列
的前
，使对任意的
成立，若存在，求出
，如果存在一个正整数
，使得对任意的
（
）都有
成立，那么就把这样一类数列
时
的周期数列，当
时
是周期为
的周期数列。
满足
（
（
不同时为0），且数列
的周期数列，求常数
的值；
，且
．
，试判断数列
，试判断数列
（
，
，
，数列
的前
，使对任意的
成立，若存在，求出
，其中
.
时，设
，
，求
的解析式及定义域；
时，求
的最小值；
，当
时，
对任意
恒成立，求
的取值范围.