题目内容

(1)

已知函数f(x)的周期为4，且等式f(2＋x)＝f(2－x)对一切x∈R均成立，求证：f(x)是偶函数

(2)

设奇函数f(x)的定义域为R，且f(x＋4)＝f(x)，当x∈［4，6］时，f(x)＝2x＋1，求f(x)在区间［－2，0］上的表达式．

答案：
解析：

(1)

　　解析：令2＋x＝t，则2－x＝4－t，f(t)＝f(4－t)　　①

　　又　∵f(x)的周期为4，∴f(4－t)＝f(－t)　　②由①、②知f(t)＝f(－t)，∴f(x)为偶函数．

(2)

　　解析：由题设知f(x)是以4为周期的周期函数，x∈［0，2］，则x＋4∈［4，6］，∴f(x)＝f(x＋4)＝2x+4＋1，即得f(x)＝2x+4＋1(0≤x≤2)．

　　当x∈［－2，0］时，即得－x∈［0，2］，∵f(x)为奇函数，

　　∴f(x)＝－f(－x)＝－(2x+4＋1)，

　　∴f(x)＝－(2x+4＋1)(－2≤x≤0)．

　　点评：正确掌握函数的奇偶性和周期性的定义是本题的解题关键，解题时应注意两者之间的联系．


练习册系列答案
相关题目
给出下列四个命题：
①函数y=|x|与函数y=(
x
)2表示同一个函数；
②已知函数f（x+1）=x2，则f（e）=e2-1
③已知函数f（x）=4x2+kx+8在区间[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围是（-∞，40]∪[160，+∞）
④已知f（x）、g（x）是定义在R上的两个函数，对任意x、y∈R满足关系式f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•g（y），且f（0）=0，但x≠0时f（x）•g（x）≠0则函数f（x）、g（x）都是奇函数．
其中正确命题的个数是（　　）
1已知函数f(x)=ax+b
1+x2
(x≥0)，g(x)=2
b(1+x2)
，a，b∈R，且g（0）=2，f(
3
)=2-
3

（Ⅰ）求f（x）、g（x）的解析式；
（Ⅱ）h（x）为定义在R上的奇函数，且满足下列性质：①h（x+2）=-h（x）对一切实数x恒成立；②当0≤x≤1时h(x)=
1
2
[-f(x)+log2g(x)]．
（ⅰ）求当-1≤x＜3时，函数h（x）的解析式；
（ⅱ）求方程h(x)=-
1
2
在区间[0，2012]上的解的个数．

（14分）1已知函数f(x)＝cox2
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；
(Ⅱ)当x0∈(0,)且f(x0)＝时，求f(x0＋)的值.

（本小题满分12分）

(1)已知函数f(x)＝2x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1，0]内是否有解，为什么？

(2)若方程ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，求实数a的取值范围．

 

若函数f(x)对定义域中任意x均满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则称函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．

(1)已知函数f(x)＝的图象关于点(0,1)对称，求实数m的值；

(2)已知函数g(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的图象关于点(0,1)对称，且当x∈(0，＋∞)时，g(x)＝x2＋ax＋1，求函数g(x)在(－∞，0)上的解析式；

(3)在(1)(2)的条件下，当t＞0时，若对任意实数x∈(－∞，0)，恒有g(x)＜f(t)成立，求实数a的取值范围．

 

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