题目内容

若函数f(x)对定义域中任意x均满足f(x)+f(2a-x)=2b,则称函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.

(1)已知函数f(x)=的图象关于点(0,1)对称,求实数m的值;

(2)已知函数g(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上的图象关于点(0,1)对称,且当x∈(0,+∞)时,g(x)=x2+ax+1,求函数g(x)在(-∞,0)上的解析式;

(3)在(1)(2)的条件下,当t>0时,若对任意实数x∈(-∞,0),恒有g(x)<f(t)成立,求实数a的取值范围.

 

【答案】

(1)由题设可得f(x)+f(-x)=2,

即+=2,解得m=1.

(2)当x<0时,-x>0且g(x)+g(-x)=2,

∴g(x)=2-g(-x)=-x2+ax+1.

(3)由(1)得f(t)=t++1(t>0),

其最小值为f(1)=3.

g(x)=-x2+ax+1=-2+1+,

①当<0,即a<0时,g(x)max=1+<3,

得a∈(-2,0)

②当≥0,即a≥0时,g(x)max<1<3,

得a∈[0,+∞);由①②得a∈(-2,+∞) 

【解析】略

 

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