已知函数f(x)对任意x.y∈R都有f.且x＞0时.f＝-2．的奇偶性． (2)当x∈[-3.3]时.函数f(x)是否有最值?如果有.求出最值,如果没有.请说明理由．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知函数f(x)对任意x、y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2．

(1)判断函数f(x)的奇偶性．

(2)当x∈[－3，3]时，函数f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，请说明理由．

答案：
解析：

　　(1)∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，

　　∴f(0)＝f(0)＋f(0)f(0)＝0．

　　而0＝x－x，因此0＝f(0)＝f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，即f(x)＋f(－x)＝0f(－x)＝－f(x)．

　　∴函数f(x)为奇函数;

　　(2)设x₁＜x₂，由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)知

　　f(x₂－x₁)＝f(x₂)＋f(－x₁)＝f(x₂)－f(x₁)〔f(x)为奇函数〕，

　　∵(x₂－x₁)＞0，且x＞0时f(x)＜0，

　　∴f(x₂－x₁)＝f(x₂)－f(x₁)＜0，

　　即f(x₂)＜f(x₁)．

　　函数f(x)是定义域上的减函数，

　　当x∈[－3，3]时，函数f(x)有最值．

　　当x＝－3时，函数有最大值f(－3)；当x＝3时，函数有最小值f(3)．

　　f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝3f(1)＝－6，

　　f(－3)＝－f(3)＝6．

　　∴当x＝－3时，函数有最大值6；当x＝3时，函数有最小值－6．

练习册系列答案

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（3）已知函数f（x）的定义域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）．

已知函数f(x)＝则f(f(x))＝________；

下面三个命题中，所有真命题的序号是________．

①函数f(x)是偶函数；

②任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x)对x∈R恒成立；

③存在三个点A(x₁，f(x₁))，B(x₂，f(x₂))，C(x₃，f(x₃))使得△ABC为等边三角形．

若实数x、y、m满足|x－m|＞|y－m|，则称x比y远离m．

(1)若x²－1比1远离0，求x的取值范围；

(2)对任意两个不相等的正数a、b，证明：a³＋b³比a²b＋ab²远离2ab；

(3)已知函数f(x)的定义域．任取x∈D，f(x)等于sinx和cosx中远离0的那个值.写出函数f(x)的解析式，并指出它的基本性质(结论不要求证明)．

若实数x、y、m满足|x－m|＜|y－m|，则称x比y接近m．

(1)若x²－1比3接近0，求x的取值范围；

(2)对任意两个不相等的正数a、b，证明：a²b＋ab²比a³＋b³接近2ab；

(3)已知函数f(x)的定义域D＝{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f(x)等于1＋sinx和1－sinx中接近0的那个值．写出函数f(x)的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性(结论不要求证明)．

若实数x、y、m满足|x-m|＞|y-m|，则称x比y远离m，
(Ⅰ)若x²-1比1远离0，求x的取值范围；
(Ⅱ)对任意两个不相等的正数a、b，证明：a³+b³比a²b+ab²远离2ab

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(Ⅲ)已知函数f(x)的定义域D={x|x≠

，k∈Z，x∈R}，任取x∈D，f(x)等于sinx和cosx中远离0的那个值．写出函数f(x)的解析式，并指出它的基本性质(结论不要求证明)．

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