Question

已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点（-

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，0）对称，且满足f(x)=-f(x-

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)，f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）的值是（　　）

A．2

B．1

C．-1

D．-2

Answer 1

分析：由函数图象关于点（-

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，0）对称，知f(x)=-f(-x-

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)，由f(x)=-f(x-

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)可得f（x）=f（x-3），从而f（x）=f（x+3），f（x）是最小正周期为3的周期函数；再由f(-x-

3

2

)=f(x+

3

2

)，可得故f（x）是偶函数，从而结合条件可求得f（1），f（2），f（3）的值．

解答：解：∵函数图象关于点（-

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，0）对称，
∴f(x)=-f(-x-

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)，①
∵f(x)=-f(x-

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)，即f（x-

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）=-f（x），
∴f[（x-

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）-

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2

]=-f（x-

3

2

）=f（x），即f（x-3）=f（x）=f[（x-3）+3]，
∴f（x+3）=f（x）；
∴f（x）是最小正周期为3的周期函数；
又f(-x-

3

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)=f(x+

3

2

)，故f（x）是偶函数．
∴f（-1）=f（2）=1，f（1）=f（-1）=1，f（3）=f（0）=-2，
∴f（1）+f（2）+f（3）=0，又f（x）是最小正周期为3的周期函数，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）
=f（2011）=f（3×670+1）=f（1）=1．
故选B．

点评：本题考查了函数的奇偶性、周期性、对称性等重要性质，函数是高考考查的重点知识，注重综合应用，属于中档题．