Question

(1) 给定正整数n5,集合 A_n=.是否存在一一映射 : A_nA_n满足条件：对一切k ( 1 k n－1 ) , 都有k | (1)+(2) +……+(k) ?    

(2) N^* 为全体正整数的集合,是否存在一一映射 : N^* N^* 满足条件：对一切kN^*, 都有k | (1)+(2) + ……+(k) ?

证明你的结论 .

注: 映射 : AB 称为一一映射,如果对任意 bB,有且只有一个 aA 使得 (a)=b . 题中“|”为整除符号.

Answer 1

解析：(1) 不存在.                                                            ( 5 分)记 S _k =.当 n = 2m+1 时 ( m 2 ), 由 2m | S _{2 m} 及S _{2 m}= －(2m+1) 得 (2m+1)m+1(mod 2m), 但 (2m+1)A _2m+1,故(2m+1)= m+1.再由 2m－1 | S_2m－1及

S_2m－1=－(m+1)－(2m) 得(2m) m+1(mod 2m－1),又有(2m)= m+1,与

的一一性矛盾.                                                                  ( 5 分)

      当 n = 2m+2 时 ( m2 ), S_2m+1=－(2m+2) 给出(2m+2)=1 或 2m+2,

同上又得(2m+1)= (2m)= m+2 或 m+1 ,矛盾.                                     ( 5 分)

(2) 存在. 对n 归纳定义(2n－1)及(2n) 如下：                               ( 5 分)

令(1)=1, (2)=3 .设已定义出不同的正整数值(k) (1k2n)满足整除条件且包含 1,2,…,n ,设 v 是未取到的最小正整数值,由于 2n+1 与 2n+2 互素,根据孙子定理,存在不同于v及(k) (1k2n)的正整数u满足同余式组

 u－S_2n(mod 2n+1)－S_2n－v (mod 2n+2) .     ( 5 分)

      定义(2n+1)=u, (2n+2)=v .则正整数(k) ( 1k2n+2 )也互不相同,满足整除条件,且包含

1,2,…,n+1 .根据数学归纳法原理,已经得到符合要求的一一映射

：N^*  N^*.             ( 5 分)