题目内容

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M、N分别在AB₁、BC₁上，且 $数学公式$ ，则下列结论①AA₁⊥MN；②A₁C₁∥MN；③MN∥平面A₁B₁C₁D₁；④B₁D₁⊥MN中，正确命题的个数是

A.
4
B.
3
C.
2
D.
1

C
分析：先把点M，N放入与平面A₁B₁C₁D₁平行的平面GFEH中，利用线面垂直的性质判断①正确，利用平行公理判断②错误，利用面面平行的性质判断③正确，利用面面平行以及线线垂直的性质判断④错误，就可得到结论．
解答：解；

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的四条棱A₁A，B₁B，C₁C，D₁D上分别取点G，F，E，H四点，
使AG= $\text{[math]}$ A₁A，BF= $\text{[math]}$ B₁B，CE= $\text{[math]}$ C₁C，DH= $\text{[math]}$ D₁D，连接GF，FE，EH，HG，
∵点M、N分别在AB₁、BC₁上，且 $\text{[math]}$ ，
∴M在线段GF上，N点在线段FE上．且四边形GFEH为正方形，平面GFEH∥平面A₁B₁C₁D₁，
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，∴AA₁⊥平面GFEH，∵MN?平面GFEH，∴AA₁⊥MN，∴①正确．
∵A₁C₁∥GE，而GE与MN不平行，∴A₁C₁与MN不平行，∴②错误．
∵平面GFEH∥平面A₁B₁C₁D₁，MN?平面GFEH，∴MN∥平面A₁B₁C₁D₁，∴③正确．
∵B₁D₁⊥FH，FH?平面GFEH，MN?平面GFEH，B₁D₁?平面A₁B₁C₁D₁，平面GFEH∥平面A₁B₁C₁D₁，
且MN与FH不平行，∴B₁D₁不可能垂直于MN，∴④错误
∴正确命题只有①③
故选C
点评：本题主要考查立体几何中，线线，线面，面面平行与垂直性质的应用，考查了学生推论能力．空间想象力．