Question

【题目】如图，在三棱锥P-ABC中， ，O是AC的中点，，，．

（1）证明：平面平面ABC；

（2）若， ，D是AB的中点，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)

【解析】

（1）利用PO⊥AC，OP2+OB2＝PB2，即PO⊥OB．可证明PO⊥面ABC，即可得平面PAC⊥平面ABC；

（2）由（1）得PO⊥面ABC，过O作OM⊥CD于M，连接PM，则∠PMO就是二面角P﹣CD﹣B的补角．解三角形POM即可．

（1）∵AP＝CP，O是AC的中点，∴PO⊥AC，

∵PO＝1，OB＝2，．∴OP2+OB2＝PB2，即PO⊥OB．

∵AC∩OB＝O，∴PO⊥面ABC，

∵PO面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC；

（2）由（1）得PO⊥面ABC，过O作OM⊥CD于M，连接PM，

则∠PMO就是二面角P﹣CD﹣B的平面角的补角．

∵OC1，∴AC＝2，AB，∴CD．

∴S△COD

∴，∴OM．PM．

∴

∴二面角P﹣CD﹣B的余弦值为．