Question

17．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，过椭圆C的焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M（m，0）作圆x²+y²=1的切线l交曲线C于A，B两点，试探究|AB|是否有最大值，若有，求出|AB|的最大值及相应的实数m；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，过椭圆C的焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，建立方程，求得几何量，即可求得椭圆G的方程；
（2）由题意知，|m|≥1，分类讨论：当m=±1时，|AB|=$\sqrt{3}$；当|m|＞1时，设l的方程代入椭圆方程，利用韦达定理，及l与圆x²+y²=1相切，可表示|AB|，利用基本不等式可求最值，从而可得结论．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵过椭圆C的焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，
∴$\frac{2{b}^{2}}{a}$=1，
∴a=2，b=1，
∴椭圆C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）由题意知，|m|≥1
当m=±1时，切线l的方程为x=±1，此时|AB|=$\sqrt{3}$；
当|m|＞1时，设l为y=k（x-m），代入椭圆方程可得（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0
设A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}m}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$
∵l与圆x²+y²=1相切，∴$\frac{|km|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，即m²k²=k²+1
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}|m|}{{m}^{2}+3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{|m|+\frac{3}{|m|}}$≤2（当且仅当m=±$\sqrt{3}$时取等号）
∴|AB|的最大值为2，m=±$\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的性质与标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，考查韦达定理的运用，正确运用韦达定理是关键．