Question

已知函数f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]
（1）当a=-1时，求函数的最值；
（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[-5，5]上是单调函数；
（3）求y=f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）a=-1时，易求二次函数f（x）在闭区间上的最值；
（2）f（x）的图象是抛物线，区间在对称轴的一侧时是单调函数；
（3）讨论f（x）图象的对称轴在区间[-5，5]上，还是在区间左侧，右侧？从而求f（x）的最小值．

解答：解：（1）当a=-1时，f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，
∴当x=1时，f（x）min=f（1）=1；当x=-5时，f（x）_max=37；
（2）∵f（x）=x²+2ax+2的图象是抛物线，且开口向上，对称轴为x=-a；
∴当-a≤-5或-a≥5，即a≥5或a≤-5时，f（x）是单调函数；
（3）∵f（x）=x²+2ax+2的图象是抛物线，开口向上，对称轴为x=-a；
∴当a≥5时，f（x）在[-5，5]上是增函数；∴f（x）_min=f（-5）=27-10a；
当5＞a＞-5时，f（x）在[-5，5]上是先减后增的函数，∴f（x）_min=f（-a）=-a²+2
当a≤-5时，f（x）在[-5，5]上是减函数；∴f（x）_min=f（5）=27+10a；
所以，f（x）在[-5，5]上的最小值是：f（x）_min=

27-10a(a≥5) -a2+2(5＞a＞-5) 27+10a(a≤-5)

．

点评：本题从多个角度考查了二次函数的单调性和最值问题，需要认真分析，分类讨论后来解答问题．