Question

为了体现国家“民生工程”，某市政府为保障居民住房，现提供一批经济适用房．现有条件相同的甲、已、丙、丁四套住房供A、B、C三人自主申请，他们的申请是相互独立的．
（Ⅰ）求A、B两人都申请甲套住房的概率；
（Ⅱ）求A、B两人不申请同一套住房的概率；
（Ⅲ）设3名参加选房的人员中选择甲套住房的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设“A申请甲套住房”为事件M₁，“B申请甲套住房”为事件M₂．由事件A和B是独立事件，能求出A，B两人都申请甲套住房的概率．
（Ⅱ）设“A，B两人选择同一套住房”为事件N，先求出事件N的概率，再求A，B两人不选择同一套住房的概率．
（Ⅲ）法一：随机变量ξ可能取的值为0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和Eξ．
法二：依题意得ξ～B(3，

1

4

)，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设“A申请甲套住房”为事件M₁，“B申请甲套住房”为事件M₂
那么A，B两人都申请甲套住房的概率
P(M1M2)=P(M1)•P(M2)=

1

4

×

1

4

=

1

16

所以甲、乙两人都申请甲套住房的概率为

1

16

…（3分）
（Ⅱ）设“A，B两人选择同一套住房”为事件N，
P(N)=4×

1

4

×

1

4

=

1

4

所以A，B两人不选择同一套住房的概率是
P(

.

N

)=1-P(N)=

3

4

…（7分）
（Ⅲ）（方法一）随机变量ξ可能取的值为0，1，2，3，那么P(ξ=0)=

C

0 3

×(

3

4

)3=

27

64

；
 P(ξ=1)=

C

1 3

×

1

4

×(

3

4

)2=

27

64

；
P(ξ=2)=

C

2 3

×(

1

4

)2×

3

4

=

9

64

；
P(ξ=3)=

C

3 3

×(

1

4

)3=

1

64

；
所以ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	27 64	27 64	9 64	1 64

…（11分）
所以Eξ=0×

27

64

+1×

27

64

+2×

9

64

+3×

1

64

=

3

4

…（12分）
（方法二）依题意得ξ～B(3，

1

4

)
所以ξ的分布列为P(ξ=k)=

C

k 3

×(

1

4

)k×(

3

4

)3-k=

C

k 3

×

33-k

64

，k=0，1，2，3．
即

ξ	0	1	2	3
P	27 64	27 64	9 64	1 64

…（11分）
所以 Eξ=3×

1

4

=

3

4

…（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题．在历年高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的合理运用．