题目内容
黄山旅游公司为了体现尊师重教,在每年暑假期间对来黄山旅游的全国各地教师和学生,凭教师证和学生证实行购买门票优惠.某旅游公司组织有22名游客的旅游团到黄山旅游,其中有14名教师和8名学生.但是只有10名教师带了教师证,6名学生带了学生证.(Ⅰ)在该旅游团中随机采访3名游客,求恰有1人持有教师证且持有学生证者最多1人的概率;
(Ⅱ)在该团中随机采访3名学生,设其中持有学生证的人数为随机变量ξ,求ξ的分布列及数学期望Eξ.
分析:(1)由题意知本题是一个古典概型,恰有1人持有教师证且持有学生证者最多1人包括两种情况,一个是1名教师有教师证,1名学生有学生证,另一个是1名教师有教师证,0名学生有学生证,这两种情况是互斥的.
(2)由于8名学生中有6名学生有学生证,而又在该团中随机采访3名学生,得到持有学生证的人数随机变量ξ的可能取值是1、2、3,根据古典概型公式做出各种结果,写出分布列和期望.
(2)由于8名学生中有6名学生有学生证,而又在该团中随机采访3名学生,得到持有学生证的人数随机变量ξ的可能取值是1、2、3,根据古典概型公式做出各种结果,写出分布列和期望.
解答:解:(Ⅰ)记事件A为“采访3名游客中,恰有1人持有教师证且持有学生证者最多1人”,
则该事件分为两个事件A1和A2,
A1为“1名教师有教师证,1名学生有学生证”;
A2为“1名教师有教师证,0名学生有学生证”.
P(A)=P(A1)+P(A2)=
+
=
+
=
∴在随机采访3人,恰有1人持有教师证且持有学生证者最多1人的概率
.
(Ⅱ)由于8名学生中有6名学生有学生证,
∴ξ的可能取值为1,2,3,
则P(ξ=1)=
=
,
P(ξ=2)=
=
,
P(ξ=3)=
=
,
∴ξ的分布列为

∴Eξ=1×
+2×
+3×
=
.
则该事件分为两个事件A1和A2,
A1为“1名教师有教师证,1名学生有学生证”;
A2为“1名教师有教师证,0名学生有学生证”.
P(A)=P(A1)+P(A2)=
| ||||||
|
| ||||
|
3 |
77 |
5 |
308 |
17 |
308 |
∴在随机采访3人,恰有1人持有教师证且持有学生证者最多1人的概率
17 |
308 |
(Ⅱ)由于8名学生中有6名学生有学生证,
∴ξ的可能取值为1,2,3,
则P(ξ=1)=
| ||||
|
3 |
28 |
P(ξ=2)=
| ||||
|
15 |
28 |
P(ξ=3)=
| ||
|
5 |
14 |
∴ξ的分布列为

∴Eξ=1×
3 |
28 |
15 |
28 |
5 |
14 |
63 |
28 |
点评:本题考查离散型随机变量的分布列和方差,解题过程中应用古典概型知识,本题这种类型是近几年高考题中经常出现的,考查离散型随机变量的分布列和期望,大型考试中理科考试必出的一道问题.

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