题目内容

y=lnx上的点到直线x-y+7=0的最短距离是

A.
$数学公式$
B.
3 $数学公式$
C.
4 $数学公式$
D.
5 $数学公式$

C
分析：求点到直线的最短距离转换为求函数的最小值，然后利用导数研究最值，即可求出所求．
解答：y=lnx上的点到直线x-y+7=0的距离是：| $\text{[math]}$ |
求最短距离即可转化为求函数y=x-lnx的最小值
∵ $\text{[math]}$
可知：当x∈（0，1），y′＜0
当x∈（1，+∞），y′＞0
故可知g在（0，1）是减函数，（1，+∞）是增函数，
故函数的最小值在x=1处取得即函数的最小值为1
所以：最短距离为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
故选C
点评：熟记点到直线的距离公式，掌握求函数最值的方法是解决该题的关键，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．