Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC=BB₁=2，，E、F分别是AB和BB₁的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面A₁D₁E；
（Ⅱ）求三棱锥E-FC₁D₁的体积．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D₁⊥面AB₁，EF?面AB₁，
∴A₁D₁⊥EF．
又由已知：AE=，BF=1，AA₁=2，BE=，
∴，
又∠A₁AE=∠EBF=90°，
∴Rt△AA₁E∽Rt△BEF，
∴∠AEA₁+∠BEF=∠AEA₁+∠．
∴A₁E⊥EF，又A₁E∩A₁D₁=A₁，
∴EF⊥平面A₁D₁E．
（Ⅱ）∵AB∥C₁D₁，AB?面FC₁D₁，C₁D₁?面FC₁D₁，
∴AB∥面FC₁D₁，
∴．
分析：（Ⅰ）要证EF⊥平面A₁D₁E只需证明A₁D₁⊥EF，A₁E⊥EF，又A₁E∩A₁D₁=A₁即可．
（Ⅱ）要求三棱锥E-FC₁D₁的体积，转化为求，两者体积相等求解即可．
点评：本题考查直线与平面的垂直，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，转化思想，常考题型．