题目内容

已知函数f（x）=log_ax在区间 $数学公式$ 上有最大值2，求正数a的值．

解：（1）当a＞1时，函数f（x）=log_ax在区间 $\text{[math]}$ 上是增函数，
∴f（3）=log_a3=2，即a²=3，解得a= $\text{[math]}$ ；
（2）当0＜a＜1时，函数f（x）=log_ax在区间 $\text{[math]}$ 上是减函数，
∴f（ $\text{[math]}$ ）=log_a $\text{[math]}$ =2，即a²= $\text{[math]}$ ，解得a= $\text{[math]}$ ，
综上得，a的值为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
分析：根据底数a与1的大小关系分成两种情况，由对数函数的单调性判断出此函数在区间上的单调性，求出对应的最大值，进而求出a的值．
点评：本题考查了对数函数单调性的应用，主要根据底数与1的大小关系判断函数的单调性．

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已知函数f（x）=2x-2+ae^-x（a∈R）
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（2）当a=1时，若直线l：y=kx-2与曲线y=f（x）在（-∞，0）上有公共点，求k的取值范围．

已知函数f（x）=x²+2|lnx-1|．
（1）求函数y=f（x）的最小值；
（2）证明：对任意x∈[1，+∞），lnx≥

恒成立；
（3）对于函数f（x）图象上的不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），如果在函数f（x）图象上存在点M（x₀，y₀）（其中x₀∈（x₁，x₂））使得点M处的切线l∥AB，则称直线AB存在“伴侣切线”．特别地，当x₀=

时，又称直线AB存在“中值伴侣切线”．试问：当x≥e时，对于函数f（x）图象上不同两点A、B，直线AB是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．

已知函数f（x）=x²-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y-1=0垂直，若数列{

}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₂的值为（　　）

已知函数f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程．

已知函数f（x）=

，a≠0且a≠1．
（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调增区间；
（2）已知当x＞0时，函数在（0，

）上单调递减，在（

，+∞）上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；
（3）记（2）中的函数图象为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．