Question

【题目】已知点和直线，直线过直线上的动点且与直线垂直，线段的垂直平分线与直线相交于点

（I）求点的轨迹的方程；

（II）设直线与轨迹相交于另一点，与直线相交于点，求的最小值

Answer 1

【答案】（I）；（II）

【解析】

（I）根据垂直平分线性质可知，由抛物线定义可得到所求轨迹方程；（II）由题意可知，直线斜率存在，且斜率不为零，设，，与抛物线方程联立得到韦达定理的形式，利用坐标运算表示出，代入韦达定理，结合基本不等式求得最小值.

（I）连接

为线段的垂直平分线

即点到定点的距离等于点到定直线的距离

由抛物线的定义可知，点的轨迹为：

（II）由题意可知，直线斜率存在，且斜率不为零

设，，直线，

将直线方程代入抛物线方程可得：

则

又 ，

当且仅当，即时取等号