Question

已知f(x)=

1

2

x2+4lnx-5x，f′（x）是f（x）的导数．
（Ⅰ）求y=f（x）的极值；
（Ⅱ）求f′（x）与f（x）单调性相同的区间．

Answer 1

分析：（I）由导数运算法则知，f′(x)=x+

4

x

-5=

(x-1)(x-4)

x

，再利用导数与单调性关系求出极值即可；
（Ⅱ）求出函数f′（x）的导函数，在定义域下令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间．
再结合（I）即可得到f′（x）与f（x）单调性相同的区间．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

1

2

x2+4lnx-5x，∴f′(x)=x+

4

x

-5=

(x-1)(x-4)

x

（x＞0），
由f'（x）＞0得，0＜x＜1或x＞4，由f'（x）＜0得，1＜x＜4．当x变化时，f'（x）、f（x）变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，4）	4	（4，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴f（x）的极大值f(x)极大=f(1)=-

9

2

，f（x）的极小值f（x）_极小=f（4）=8ln2-12．…6分
（Ⅱ）设g(x)=x+

4

x

-5(x＞0)，∴g′(x)=

(x+2)(x-2)

x

，
由g'（x）＞0得，x＞2，g（x）为增函数，由g'（x）＜0得，0＜x＜2，g（x）为减函数．
再结合（Ⅰ）可知：f'（x）与f（x）的相同减区间为[1，2]，相同的增区间是[4，+∞）…12分．

点评：本题主要考查导数与函数单调性的关系，会熟练运用导数解决函数的极值问题．求函数的单调区间，应该先求出函数的导函数，令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间．