Question

已知：等差数列{a_n}中，a₃+a₄=15，a₂a₅=54，公差d＜0．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求数列的前n项和S_n的最大值及相应的n的值．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的性质可得

a2+a5=15 a2•a5=54

，联立方程可得a₂，a₅，代入等差数列的通项公式可求a_n
（2）利用等差数列求和公式先求出S_n，然后利用二次函数的性质求出最值，注意变量取正整数．

解答：解：（1）解∵{a_n}为等差数列，
∴a₂+a₅=a₃+a₄∴

a2+a5=15 a2•a5=54

…2分
解得

a2=6 a5=9

(因d＜0，舍去)

a2=9 a5=6

…4分⇒

d=-1 a1=10

…5分
∴a_n=11-n．…6分
（2）∴Sn=

n(a1+an)

2

=-

1

2

n2+

21

2

n．
∴Sn=

n(a1+an)

2

=-

1

2

n2+

21

2

n．…8分
又-

1

2

＜0，对称轴为

21

2

，故当n=10或11时，…10分
S_n取得最大值，其最大值为55．…12分．

点评：本题主要考查了等差数列的通项和等差数列的求和，同时考查求解最大值问题，属于中档题．