Question

（本小题满分12分）已知数列和满足：

              , 其中为实数，为正整数．

（Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；

（Ⅱ）对于给定的实数，试求数列的前项和；

（Ⅲ）设，是否存在实数，使得对任意正整数，都有成立? 若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：假设存在一个实数，使｛｝是等比数列，

则有,

即矛盾．

所以｛｝不是等比数列．

（Ⅱ）解：因为

又，所以

当，，此时

       当时，， ，

       此时，数列｛｝是以为首项，为公比的等比数列．

       ∴

       （Ⅲ）要使对任意正整数成立，

       即

             

       当为正奇数时，

       ∴的最大值为, 的最小值为,

       于是，由（1）式得

       当时，由，不存在实数满足题目要求；

       当存在实数，使得对任意正整数，都有,且的取值范围是