题目内容

在直角坐标系xOy中，点M到点F₁ $数学公式$ 、F₂ $数学公式$ 的距离之和是4，点M的轨迹是C，直线l： $数学公式$ 与轨迹C交于不同的两点P和Q．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）是否存在常数k，使 $数学公式$ ？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）∵点M到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的距离之和是4，
∴M的轨迹C是长轴长为4，焦点在x轴上焦距为 $\text{[math]}$ 的椭圆，其方程为 $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）将 $\text{[math]}$ ，代入曲线C的方程，
整理得 $\text{[math]}$ ．①
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由方程①，得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．②
又 $\text{[math]}$ ．③
若 $\text{[math]}$ ，则x₁x₂+y₁y₂=0，
将②、③代入上式，解得 $\text{[math]}$ ．
又因k的取值应满足△＞0，即4k²-1＞0（*），
将 $\text{[math]}$ 代入（*）式知符合题意．
分析：（Ⅰ）M的轨迹C是长轴长为4，焦点在x轴上焦距为 $\text{[math]}$ 的椭圆，由此可求出轨迹C的方程．
（Ⅱ）将 $\text{[math]}$ ，代入曲线C的方程，整理得 $\text{[math]}$ ．然后利用根与系数的关系求出k的值．
点评：本题考查椭圆的轨迹方程和直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细作答．

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．
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．
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