题目内容

若(2x+
3
)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，则(a0+a2+a4+a6)2-(a1+a3+a5)2的值为
1
1
．
分析：给x赋值1，-1，要求的式子用平方差公式分解，把赋值后的结果代入求出最后结果．
解答：解：∵(2x+
3
)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，
令x=1，则有（2+
3
）6=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6，
令x=-1，则有（-2+
3
）6=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6，
∴（a0+a2+a4+a6）2-（a1+a3+a5）2=（a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6）（a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6）=（2+
3
）6（-2+
3
）6=[（2+
3
）（-2+
3
）]6=（-1）6=1，
∴（a0+a2+a4+a6）2-（a1+a3+a5）2=1．
故答案为：1．
点评：本题考查二项式定理的应用，技巧性比较强，观察要求的式子的结构特点，得出要求式子的特征，进而利用赋值法求解．属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
下列命题：
①函数y=sin（2x+
π
3
）的单调减区间为[kπ+
π
12
，kπ+
7π
12
]，k∈Z；
②函数y=
3
cos2x-sin2x图象的一个对称中心为（
π
6
，0）；
③函数y=sin（
1
2
x-
π
6
）在区间[-
π
3
，
11π
6
]上的值域为[-
3
2
，
2
2
]；
④函数y=cosx的图象可由函数y=sin（x+
π
4
）的图象向右平移
π
4
个单位得到；
⑤若方程sin（2x+
π
3
）-a=0在区间[0，
π
2
]上有两个不同的实数解x1，x2，则x1+x2=
π
6
．
其中正确命题的序号为
 
．
已知函数f(x)=cos(2x+π)+
3
cos(2x-
3π
2
)+a（a为常数，x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函数f（x）在[-
π
6
，
π
6
]上的最大值与最小值之和为3，求常数a的值．
下列命题：
①终边在坐标轴上的角的集合是{α|α=
kπ
2
，k∈Z}；
②若2sinx=1+cosx，则tan
x
2
必为
1
2
；
③ab=0，asinx+bcosx=
a2+b2
sin（x+φ），（|φ|＜π）中，若a＞0，则φ=arctan
b
a
；
④函数y=sin（
1
2
x-
π
6
）在区间[-
π
3
，
11π
6
]上的值域为[-
3
2
，
2
2
]；
⑤方程sin（2x+
π
3
）-a=0在区间[0，
π
2
]上有两个不同的实数解x1，x2，则x1+x2=
π
6
．
其中正确命题的序号为
①③⑤
①③⑤
．
若不等式3|x+a|-2x+6＞0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是
（-3，+∞）
（-3，+∞）
．
已知函数f(x)=cos(2x+π)+
3
cos(2x-
3π
2
)+a（a为常数，x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函数f（x）在[-
π
6
，
π
6
]上的最大值与最小值之和为3，求常数a的值．

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