Question

已知函数f(x)=cos(2x+π)+

3

cos(2x-

3π

2

)+a（a为常数，x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函数f（x）在[-

π

6

，

π

6

]上的最大值与最小值之和为3，求常数a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用诱导公式、两角和差的正弦余弦公式、周期公式即可得出；
（Ⅱ）利用正弦函数的单调性即可得出．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=cos(2x+π)+

3

cos(2x-

3π

2

)+a
=-cos2x-

3

sin2x+a
=-2(

1

2

cos2x+

3

2

sin2x)+a
=-2sin(2x+

π

6

)+a，
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．                           
（Ⅱ）当x∈[-

π

6

，

π

6

]，-

π

6

≤2x+

π

6

≤

π

2

，
∴函数f（x）在[-

π

6

，

π

6

]上的最大值是-2sin(-

π

6

)+a=1+a，
最小值是-2sin

π

2

+a=-2+a，
∴（1+a）+（-2+a）=3，得a=2．

点评：熟练掌握诱导公式、两角和差的正弦余弦公式、周期公式、正弦函数的单调性是解题的关键．