Question

（2013•东城区一模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁，F₂，离心率为

1

2

，过F₁的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF₂的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过原点O的两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求出这个定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由△MNF₂的周长为8，得4a=8，由e=

1

2

，得

b2

a2

=

a2-c2

a2

=1-e2=

3

4

，从而可求得b；
（Ⅱ）分情况进行讨论：由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x₀，x₀），B（x₀，-x₀），再由A、B在椭圆上可求x₀，此时易求点O到直线AB的距离；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，知△＞0，由OA⊥OB，得x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，整理后代入韦达定理即可得m，k关系式，由点到直线的距离公式可求得点O到直线AB的距离，综合两种情况可得结论，注意检验△＞0．

解答：解：（I）由题意知，4a=8，所以a=2．
因为e=

1

2

，
所以

b2

a2

=

a2-c2

a2

=1-e2=

3

4

，
所以b²=3．
所以椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x₀，x₀），B（x₀，-x₀）．
又A，B两点在椭圆C上，
所以

x02

4

+

x02

3

=1，x02=

12

7

．
所以点O到直线AB的距离d=

12 7

=

2 21

7

．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m．
由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

消去y得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
由已知△＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
所以x1+x2=-

8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

．
因为OA⊥OB，所以x₁x₂+y₁y₂=0．
所以x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0．
所以(k2+1)

4m2-12

3+4k2

-

8k2m2

3+4k2

+m2=0．
整理得7m²=12（k²+1），满足△＞0．
所以点O到直线AB的距离d=

|m|

k2+1

=

12 7

=

2 21

7

为定值．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查学生分析解决问题的能力，弦长公式、韦达定理是解决该类问题的常用知识，要熟练掌握．