Question

过点M（4，2）作x轴的平行线被抛物线C：x²=2py（p＞0）截得的弦长为．
（I）求p的值；
（II）过抛物线C上两点A，B分）别作抛物线C的切线l₁，l₂．
（i）若l₁，l₂交于点M，求直线AB的方程；
（ii）若直线AB经过点M，记l₁，l₂的交点为N，当时，求点N的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知得点在抛物线x²=2py上，代入得即可求出p的值；
（II）设，直线AB方程为y=kx+b．将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系及导数的几何意义即可求解．
（i）由题意得M（4，2）是l₁与l₂的交点，从而解决问题．
（ii）由题意得M（4，2）在直线AB上，故4k+b=2，且x₁+x₂=4k，x₁•x₂=16k-8，涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式），从而求得三角形的面积列出方程求得k值，进而求点N的坐标．
解答：解：（I）由已知得点在抛物线x²=2py上，（2分）
代入得8=4p，故p=2．（4分）
（II）设，直线AB方程为y=kx+b．
，
则x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4b．（6分）
求导得，
故抛物线在A，B两点处的切线斜率分别为，
故在A，B点处的切线方程分）别为和，
于是l₁与l₂的交点坐标为，即为（2k，-b）．（8分）
（i）由题意得M（4，2）是l₁与l₂的交点，
故即故直线AB的方程为2x-y-2=0．（9分）
（ii）由题意得M（4，2）在直线AB上，故4k+b=2，且x₁+x₂=4k，x₁•x₂=16k-8，
故l₁与l₂的交点N坐标为（2k，4k-2）．（11分）
，
点N到直线AB的距离，
故．（13分）
故，
即，得k=-1或5，（14分）
故点N的坐标为（-2，-6）或（10，18）．（15分）
点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、直线的方程、抛物线方程等基础知识，考查运算求解能力、方程思想．涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式），属于中档题．