Question

过点M（4，2）作x轴的平行线被曲线C：x²=2py（p＞0）截得的弦长为4

2

．
（I）求p的值；
（II）过点M作直线交抛物线C于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l₁，l₂，记l₁，l₂的交点为N，当S△ABN=28

7

时，求点N的坐标．

Answer 1

分析：（I）由题意可得，点(2

2

，2)在抛物线x²=2py上，代入可求p，
（II）由题意可设直线AB：y-2=k（x-4），联立抛物线x²=4y，设A（x1，

x12

4

），B（x2，

x22

4

）根据方程的根与系数关系可求x₁+x₂，x₁x₂，结合弦长公式|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

，利用导数的几何意义可求A，B点处的切线，交点坐标N，由点N到直线AB的距离d=

2|k2-4k+2|

1+k2

，代入面积公式可求S△NAB=

1

2

|AB|•d=4(

k2-4k+2

)3，结合已知即可求k

解答：解：（I）由题意可得，过M（4，2）所作的直线为y=2截抛物线 弦长为4

2

∴点(2

2

，2)在抛物线x²=2py上，…（2分）
代入得8=4p，故p=2．…（5分）
（II）易知直线AB的斜率一定存在，设为k，则AB：y-2=k（x-4）
联立抛物线x²=4y，消元，整理得：x²-4kx+16k-8=0    …（7分）
设A（x1，

x12

4

），B（x2，

x22

4

）则x₁+x₂=4k，x₁x₂=16k-8
|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=4

1+k2

k2-4k+2

…（9分）
∵y′=

x

2

故抛物线在A，B两点处的切线斜率分别为

x1

2

，

x2

2

故在A，B点处的切线方程分别为L₁y=

x1

2

x-

x12

4

，l2：y=

x2

2

x-

x22

4

   …（11分）
于是，l₁与l₂的交点坐标为(

x1+x2

2

，

x1x2

4

)，即N（2k，4k-2）
点N到直线AB的距离d=

2|k2-4k+2|

1+k2

                 …（12分）
∴S△NAB=

1

2

|AB|•d=4(

k2-4k+2

)3…（13分）
故4(

k2-4k+2

)3=28

7

即

k2-4k+2

=

7

∴k=-1或k=5，…（14分）
故点N的坐标为（-2，-6）或（10，18）．…（15分）

点评：本题主要考查了利用抛物线的性质求解抛物线的方程，直线与抛物线相交关系的应用，一般思路是联立方程结合方程的根与系数关系进行处理