Question

二次函数f（x）满足且f（0）=1.

（1）求f（x）的解析式;

（2）若在区间上, 不等式f（x）2x+m恒成立，求实数m的范围.

Answer 1

解：(1)设f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax²+bx+1

∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)²+b(x+1)+1-(ax²+bx+1)=2x.即2ax+a+b=2x,所以

,∴f(x)=x²-x+1.

由题意得x²-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立.即x²-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立.

设g(x)= x²-3x+1-m,其图象的对称轴为直线x=,所以g(x) 在[-1,1]上递减.

因此只需g(1)>0,即1²-3×1+1-m>0,解得m<-1. 

故 实数m的范围  

解析:

本题考察求二次函数解析式和恒成立问题求解方法：通常转化为求函数的最值