Question

给出下列四个命题：
①若x＞0，且x≠1则；
②设x，y∈R，命题“若xy=0，则x²+y²=0”的否命题是真命题；
③若函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是，则f（1）+f'（1）=3；
④已知抛物线y²=4px（p＞0）的焦点F与双曲线的一个焦点重合，点A是两曲线的交点，AF⊥x轴，则双曲线的离心率为．
其中所有真命题的序号是    ．

Answer 1

【答案】分析：①利用基本不等式成立的条件判断．②利用逆否命题的等价性去判断否命题．③利用导数的几何意义以及导数的运算判断．④利用抛物线和双曲线的性质去判断．
解答：解：①当0＜x＜1时，lgx＜0，不满足基本不等式的条件，所以①错误．
②因为逆命题和否命题互为等价命题，所以原命题的逆命题为“若x²+y²=0，则xy=0”，则逆命题正确，
所以否命题也正确，所以②正确．
③由y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是，所以得到f（1）=，，
所以f（1）+f'（1）=3，所以③正确．
④设双曲线的左焦点为F'，连接AF'
∵F是抛物线y²=4px的焦点，且AF⊥x轴，
∴设A（p，y），得y²=4p×p，得y=2p，A（p，2p），
因此，Rt△AFF'中，|AF|=|FF'|=2p，得|AF'|=p
∴双曲线的焦距2c=|FF'|=2p，实轴2a=|AF'|-|AF|=2p（）
由此可得离心率为，所以④正确．
故答案为：②③④．
点评：本题主要考查命题的真假判断，综合性较强涉及的知识点较多，要求熟练掌握相应的知识．