Question

（2013•红桥区二模）已知等比数列{a_n}的公比q≠1，a₁=3，且3a₂、2a₃、a₄成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=21og₃a_n，求证：数列{b_n}成等差数列；
（3）是否存在非零整数λ，使不等式λ(1-

1

b1

)(1-

1

b2

)…(1-

1

bn

)(-1)n=1＜

1

bn+1

．对一切，n∈N^*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）直接由3a₂、2a₃、a₄成等差数列列式求出公比q的值，则数列{a_n}的通项公式可求；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=21og₃a_n整理即可得到结论；
（3）令cn=

1

(1- 1 b1 )(1- 1 b2 )…(1- 1 bn ) bn+1

，则不等式等价于（-1）ⁿ⁺¹λ＜c_n，作比后得到数列{c_n}的单调性，分n的奇偶性求出数列{c_n}的最小值，从而得到结论．

解答：解：（1）由3a₂，2a₃，a₄ 成等差数列，
所以4a₃=a₄+3a₂，即4a1q2=a1q3+3a1q．∵a₁≠0，q≠0，
∴q²-4q+3=0，即（q-1）（q-3）=0．
∵q≠1，∴q=3，
由a₁=3，得an=a1qn-1=3n；
（2）∵an=3n，∴bn=2log33n=2n．
得b_n-b_n-1=2．
∴{b_n}是首项为9，公差为2的等差数列；
（3）由b_n=2n，
设cn=

1

(1- 1 b1 )(1- 1 b2 )…(1- 1 bn ) bn+1

，则不等式等价于（-1）ⁿ⁺¹λ＜c_n．

cn+1

cn

=

bn+1

(1- 1 bn+1 ) bn+1+1

=

2n+1

(1- 1 2n+2 ) 2n+3

=

2n+2

(2n+1)(2n+3)

=

4n2+8n+4

4n2+8n+3

＞1．
∵c_n＞0，∴c_n+1＞c_n，数列{c_n}单调递增．
假设存在这样的实数λ，使的不等式（-1）ⁿ⁺¹λ＜c_n对一切n∈N^*都成立，则
①当n为奇数时，得λ＜(cn)min=c1=

2 3

3

；
当n为偶数时，得-λ＜(cn)min=c2=

8 5

15

，即λ＞-

8 5

15

．
综上，λ∈(-

8 5

15

，

2 3

3

)，由λ是非零整数，知存在λ=±1满足条件．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了数列的函数特性，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，是中档题．