Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为的棱BB₁的中点，则异面直线AM与BD₁所成角的余弦值是（　　）

• A．

  10

  15

• B．

  15

  10

• C．

  10

  10

• D．

  15

  15

Answer 1

分析：以D为原点，DC所在的直线为y轴，DA所在的直线为x轴，DD₁所在的直线 为Z轴建立空间直角坐标系．
给出各点的坐标，求出

BD1

 和

AM

的坐标，求出cos＜

BD1

，

AM

＞的值，即可得到 AM与BD₁所成角的余弦值．

解答：解：以D为原点，DC所在的直线为y轴，DA所在的直线为x轴，DD₁所在的直线 为Z轴建立空间直角坐标系．
则B（1，1 0），D₁（0，0，1），A（1，0，0），M（1，1，

1

2

）．

BD1

=（-1，-1，1），

AM

=（0，1，

1

2

）．
∴cos＜

BD1

，

AM

＞=

BD1 • AM

| BD1 |•  |AM |

=

0-1+ 1 2

3 × 5 4

=-

15

15

．
故异面直线AM与BD₁所成角的余弦值是

15

15

．
故选：D．

点评：本题考察用空间向量求二面角的夹角与两直线的夹角，解题的关键是建立恰当的坐标系，及掌握向量法求线线角，面面角的向量公式，本题考察了数形结合的思想及转化的思想，利用向量求解决立体几何问题是近几年高考的热点，向量法解决立体几何问题降低了思维难度，化推理为计算，使得几何求解变得简单，此法也有不足，需要建立坐标系，且运算量较大．