Question

【题目】已知椭圆的离心率为，短轴长为4.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点作两条直线，分别交椭圆于，两点（异于点）.当直线，的斜率之和为定值时，直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)见解析

【解析】

（I）根据椭圆的离心率和短轴长列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（II）当直线的斜率存在时，设出直线的方程，根据化简得到表达式.联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，并代入上面求得的表达式，化简后可求得的关系式，带回直线的方程，由此求得直线所过定点.当直线斜率不存在时，设直线的方程为，利用，求出的值，由此判断此时直线所过定点.

（Ⅰ）由题意知：，，.

解得，，，所以椭圆方程为.

（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线方程为，，

由，得，整理得

联立，消去得，由题意知二次方程有两个不等实根.

∴，，

代入得.

整理得.

∵，∴，∴，即.

所以直线过定点.

当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，，，其中.

∴ ，由，得，∴.

∴当直线的斜率不存在时，直线也过定点.

综上所述，直线恒过定点.